Dodatni pouk - geometrija

Natisni

Pojasnjeni  in dokazani so nekateri dokazi iz elementarne geometrije.  

Tako je na primer zanimivo, da na isti krožnici ležijo nožišča višin, razpovišča stranic. Krožnica pa pri tem seka višine v razpoloviščih med višinsko točko in oglišči - tako to krožnico imenujemo Feuerbachovo krožnico devetih točk.

Določene situacije se lahko narišejo tudi z Geogebro in se raziskuje naprej... 

Primeri nalog.

1

V trikotniku \(ABC\) leži točka \(D\) na stranici \(AC\). Pokaži, da velja: \(|AB|+|BC|<2|BD|+|AC|\)

rešitev 1

 Upoštevamo trikotniški neenakosti \(|AB|<|BD|+|AD|\) in \(|BC|<|BD|+|CD| \)  in ju seštejemo.

2

Pokaži: v trikotniku \(ABC\) velja \(\frac{1}{2}(a+b)>t_c\)

rešitev 2

Če prezrcalimo \(C\) preko razpolovišča stranice \(c\), dobimo paralelogram \(AFBC\) z dolžino diagonale \(CF=2t_c.\)

Upoštevamo  trikotniško neenakost v trikotniku \(AFC\), dobimo \(a+b>2t_c\).

3

Pokaži, da v trikotniku \(ABC\) velja \(\frac{a+b+c}{2}<t_a+t_b+t_c<a+b+c\)

rešitev 3

Desno neenakost pokažemo, da upoštevamo rezultat prejšnje naloge za vse tri težiščnice in vse tri neenakosti seštejemo.

Levo neenakost pa dobimo, če seštejemo \(t_a>c-\frac{a}{2}\), \(t_b>a-\frac{b}{2}\), \(t_c>b-\frac{c}{2}.\) 

4

Pokaži, da je v trikotniku dolžina težiščnice na stranico \(a\) enaka \(t_a=\frac{1}{2}(2b^2+2c^2-a^2).\)

 

rešitev 4

Če točko \(A\) prezrcalimo preko razpolovišče stranice \(a\), dobimo paralelogram \(ABDC.\)

Po paralelogramskem pravilu je \( a^2+(2t_a)^2=2(b^2+c^2)\), od tu pa izrazimo \(t_a.\)