Vsebine:
- linearne Diofantske enačbe
- nelinearne Diofantske enačbe:
- metoda produkta,
- količnika,
- vsote kvadratov,
- metode zadnje števke,...
Za linearno Diofantsko enačbo štejemo vse enačbe
\(ax+by=c, \) (*)
kjer so \(a,b,c\) celoštevilski koeficienti, rešitve, pari \((x,y)\) pa so iz množice \(\mathbb{Z}.\)
V splošnem velja:
- enačba (*) je rešljiva natanko tedaj, ko \(D(a,b)|c.\)
(trditev lahko posplošimo tusi na več spremenljivk...)
Velja:
- na premici \(4x+6y=1\) ne obstaja točka s celoštevilskimi koordinatami.
- če sta števili \(a\) in \(b\) tuji, ima enačba neskončno rešitev.
Eulerjeva metoda iskanja rešitev:
\(5x-2y=7\) ima rešitve, saj \(D(5,2)|7\).
Izrazimo \(y\) in dobimo \(y=\frac{5x-7}{2}=2x+ \frac{x-7}{2}.\)
Ker iščemo celoštevilske rešitve, mora biti \(x-7\) večkratnik \(2,\) torej \(x=2t-7.\) Vstavimo nazaj v \(y\) in dobimo \(y=2(2t-7)+\frac{2t-7-7}{2}=3t-21.\)
Rešitve so oblike \(x=2t-7, y=3t-21,\) kjer je \(t\) celo število.
- Primer: Enačbo \(93x + 43y = 3\) (**), ki ima rešitve: \((x, y) = (5 − 14k, −11 + 31k), k\) je celo število, reši sam.
Več o linearnih diofanstkih enačbah:
{pdf=../datoteke/Dodatni/Linearne Diofantske Enacbe.pdf|100%|800|native}
Več o tem je napisano v reviji Brihtnež (rešitve nalog so v zavihku 20*):
{pdf=../datoteke/Dodatni/NelinDiof.pdf|100%|800|native}
1
Poišči vse celoštevilske rešitve enačbe \(29x+13y=1.\)
Rešitev: \(x=-4+13t, y=9-29t, t\in\mathbb{Z}\)
2
Poišči vse celoštevilske rešitve enačbe \(127x-52y=-2.\)
Rešitev: \(x=44+127t, y=18+52t, t\in\mathbb{Z}\)
3
Poišči vse celoštevilske rešitve enačbe \(43x+64y=1.\)
Rešitev: \(x=3-64t, y=-2+43t, t\in\mathbb{Z}\)
4
Na tekmovanju iz matematike je bilo 140 dijakov. Organizator tekmovanja je za vsakega tekmovalca pripravil po eden sok. Sokovi so bili v paketih po 16, 17 ali 40 steklenic. Koliko je bilo posameznih paketov?
Rešitev: 2 paketa po 16 sokov, 4 pakete po 17 sokov, 1 paket po 40 sokov.
5
Določi števila, ki imajo to lastnost, da ko jim prištejemo vsoto števk,dobimo 62.
