Vsebine:
- linearne Diofantske enačbe
- nelinearne Diofantske enačbe:
- metoda produkta,
- količnika,
- vsote kvadratov,
- metode zadnje števke,...
Linearne Diofantske enačbe
Za linearno Diofantsko enačbo štejemo vse enačbe
\(ax+by=c, \) (*)
kjer so \(a,b,c\) celoštevilski koeficienti, rešitve, pari \((x,y)\) pa so iz množice \(\mathbb{Z}.\)
V splošnem velja:
- enačba (*) je rešljiva natanko tedaj, ko \(D(a,b)|c.\)
(trditev lahko posplošimo tusi na več spremenljivk...)
Velja:
- na premici \(4x+6y=1\) ne obstaja točka s celoštevilskimi koordinatami.
- če sta števili \(a\) in \(b\) tuji, ima enačba neskončno rešitev.
Eulerjeva metoda iskanja rešitev:
\(5x-2y=7\) ima rešitve, saj \(D(5,2)|7\).
Izrazimo \(y\) in dobimo \(y=\frac{5x-7}{2}=2x+ \frac{x-7}{2}.\)
Ker iščemo celoštevilske rešitve, mora biti \(x-7\) večkratnik \(2,\) torej \(x=2t-7.\) Vstavimo nazaj v \(y\) in dobimo \(y=2(2t-7)+\frac{2t-7-7}{2}=3t-21.\)
Rešitve so oblike \(x=2t-7, y=3t-21,\) kjer je \(t\) celo število.
- Primer: Enačbo \(93x + 43y = 3\) (**), ki ima rešitve: \((x, y) = (5 − 14k, −11 + 31k), k\) je celo število, reši sam.
Več o linearnih diofanstkih enačbah:
{pdf=../datoteke/Dodatni/Linearne Diofantske Enacbe.pdf|100%|800|native}
Nelinearne Diofantske enačbe
Več o tem je napisano v reviji Brihtnež (rešitve nalog so v zavihku 20*):
{pdf=../datoteke/Dodatni/NelinDiof.pdf|100%|800|native}
Naloge 1
1
Poišči vse celoštevilske rešitve enačbe \(29x+13y=1.\)
Rešitev: \(x=-4+13t, y=9-29t, t\in\mathbb{Z}\)
2
Poišči vse celoštevilske rešitve enačbe \(127x-52y=-2.\)
Rešitev: \(x=44+127t, y=18+52t, t\in\mathbb{Z}\)
3
Poišči vse celoštevilske rešitve enačbe \(43x+64y=1.\)
Rešitev: \(x=3-64t, y=-2+43t, t\in\mathbb{Z}\)
4
Na tekmovanju iz matematike je bilo 140 dijakov. Organizator tekmovanja je za vsakega tekmovalca pripravil po eden sok. Sokovi so bili v paketih po 16, 17 ali 40 steklenic. Koliko je bilo posameznih paketov?
Rešitev: 2 paketa po 16 sokov, 4 pakete po 17 sokov, 1 paket po 40 sokov.
5
Določi števila, ki imajo to lastnost, da ko jim prištejemo vsoto števk,dobimo 62.
Naloge 2
1
Poišči vse rešitve enačbe \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2} \) v množici \(\mathbb{Z}.\)
Rešitev: Pari \((m,n)\) so \((-2,1),(1,-2),(3,6),(4,4),(6,3)\)
2
Poišči vse rešitve enačbe \(\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{1}{4} \) v množici \(\mathbb{N}.\)
Rešitev: Para \((m,n)\) sta \((2,10),(36,9)\)
3
Poišči vse rešitve enačbe \(\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{2}{5}\) v množici \(\mathbb{N}.\)
Rešitev: \((15,6)\)
4
Pokaži, da enačba \(\frac{2}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}\) v množici \(\mathbb{N}\) nima rešitev.
Namig: preoblikuj v produkt.
5
Poišči rešitve enačbe \(a^2+b^2+4^2=6b-4a+5\) v množici \(\mathbb{Z}\).
Rešitev: Pari \((a,b)\) so \((-1,4), (3,-2), (3,4), (-1,2)\)
6
Poišči rešitve enačbe \(xy+2y=x\) v množici \(\mathbb{Z}\).
Rešitev: Pari \((a,b)\) so \((-1,1), (-3,3), (0,0), (-4,2)\)
7
Poišči rešitve enačbe \(xy+x-3y-6=0 \) v množici \(\mathbb{Z}\).
Rešitve: Pari \((x,y)\) so \((4,2), (0,-2), (2,-4), (6,0)\)
8
Poišči rešitve enačbe \(3xy+2y=7 \) v množici \(\mathbb{Z}\).
Rešitev: Para \((x,y)\) sta \((-3,-1), (-1,-7)\)
9
Pokaži, da enačba \((x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=35 \) nima rešitev v \(\mathbb{Z}\).
Namig: poenostavi in faktoriziraj levo stran.
10
Pokaži, da ima enačba \(2x^2+xy-3y^2=17 \) le eno rešitev v \(\mathbb{N}\).
Rešitev: Par \((x,y)\) je \((4,3)\)
11
Pokaži, da je enačba \(n^3+7n^2+14n+8=6p \) rešljiva v množici \(\mathbb{N}\) le za eno praštevilo \(p.\) Kolikšen je tedaj \(n\)?
Rešitev: \(p=5,n=1\)
13
Pokaži, da enačba \(x^4+y^4=8888888888888888\) nima rešitev v množici celih števil.
Namig: s katero števko se lahko konča četrta potenca naravnega števila?
14
Za katera cela števila je izraz \(a^2+3a+24\) popolni kvadrat?
Rešitev: \(a\) je lahko \(5,-8,20,-23.\)
17
Reši enačbo v celih številih: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{y}=1\)
18
Poišči dvomestna števila, katere vrednosti so enake trikratniku produkta števk teh števil.
Namig: uporabi metodo količnika; 15 in 24.
19
Ali ima enačba \(x^2+y^2=2014\) rešitev v celih številih?
Namig: ali sta lahko \(x\) in \(y\) sodi števili?