Izbrane naloge

Aktualni problem:

Krojač ima 10 velikih kosov materiala. Odloči se, da bo razrezal nekatere kose na deset manjših. Nato se odloči, da bo nekatere od teh kosov blaga razrezal še na 10 manjših kosov. Ta postopek večkrat ponovi v celoti, nakar se utrudi. Želi prešteti vse kose blaga, ki jih je dobil z rezanjem. Po hitrejšem štetju ugotovi, da jih je 2019. Pokaži z računom, da se je zmotil pri štetju.

Naloge so razdeljene po sklopih po 10.

REŠITVE LAHKO PRISPEVATE v OBLIKI KOMENTARJEV. PO OBDELAVI BODO OBJAVLJENE (LAHKO ANONIMNO).

A

1

Katera števka se nahaja na mestu enic rezultata \(6^{24}-3^{25}\)?

2

Kakšen je ostanek, če \(x^{51}+51\) delimo z \(x+1\)?

3

Koliko realnih rešitev ima enačba \(\left(\frac{\large{2x^2-5}}{\large{3}}\right)^{\large{x^2-x}}=1\) ?

4

Naj bosta korena enačbe \(x^2-85x+c=0\) praštevili. Izračunaj vrednost \(c\).

5

Izračunaj \(\large{a+b}\), če velja \(\large{29a031\cdot 342 = 100900b02}\).

6

Naj bo\(\large{a+b=3}\) in \(\large{ a^2+b^2=7.}\). Izračunaj \(\large{ a^4+b^4.}\)

7

Izračunaj \(\large{1^2-2^2+3^2-4^2+\ldots-1998^2+1999^2.}\)

8

Naj bo \(\large{2f(x)+f(1-x)=x^2}\). Izračunaj \(f(5)\).

9

Naj bo \(\large{\sin x +\sin^2 x+\sin^3 x+\ldots =4}\). Izračunaj največjo možno vrednost za \(\large{\cos x+\cos^2 x+\ldots}\).

10

Določi števko na 2014. mestu števila \(\large{123456789101112131415\ldots}\).

B

11

Izračunaj \(\large{\frac{20014^3-19999^3-15^3}{20014\cdot 19999\cdot 15}}\).

12

Določi najmanjši \(\large{n>4000}\), da bo \(\large{ {n\choose 2014}}\) deljiv z \(\large{ {n \choose 2013}}\).

13

Uredi po velikosti: \(\large{2^{1000},3^{600},10^{300}}\)

14

Koliko urejenih trojic \((x,y,z)\) ima enačba v \(\large{xyz=4000}\) v množici naravnih števil?

15

Kakšno je največje število kosov, ki jih lahko dobimo pri razrezu pice z devetimi rezi?

16

S koliko ničlami se konča zapis števila \(\large{100!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 99\cdot 100}\)?

17

V rombu s stranico \(\large{a}\) je na daljši diagonali točka, ki je od treh oglišč oddaljena za \(\large{1}\), od četrtega oglišča pa \(\large{a}\). Izračunaj dolžino stranice romba.

18

Naj bo \(\large{t_{1}=2, t_{n+1}=\frac{t_n-1}{t_n+1}}\). Izračunaj \(\large{t_{2014}}\)

19

Naj bo \(\large{N=\underbrace{999\ldots 99}_{18 \; \v{s}tevk} }\). Koliko devetk je v zapisu števila \(\large{N^2}\)?

20

Izračunaj: \(\large{9778894\cdot 9778896+9778896\cdot 9778899-9778895\cdot 9778894\cdot 9778898}\)

C

21

Naj velja \(\large{a * b=ab+b.}\) Poišči realne vrednosti parametra \(a\), da bo imela enačba \(\large{x*(a*x)=-\frac{1}{4}}\) dve različni realni rešitvi.

22

Vrednosti \(\large{a,b,c}\) so koreni enačbe \(\large{x^3-17x-19.}\) Izračunaj vrednost \(\large{a^3+b^3+c^3.}\)

23

Skupina šteje pet prijateljev. Vsote starosti izbranih štirih so zaporedoma 124,128,130,136 in 142. Določi starost najmlajšega.

24

Poišči vse rešitve enačbe \(4x-7y=117\) v naravnih številih.

25

Katere rešitve ima enačba \(x+y-xy=49\) v množici celih števil?

26

Trapez ima osnovnici dolžine 12 in 15 cm. Izračunaj dolžino daljice s krajiščema na krakih trapeza in je vzporedna osnovnicam ter poteka skozi presečišče diagonal.

27

Koliko števil iz množice \(\{\frac{1}{7},\frac{2}{7},\ldots,\frac{99}{7} \}\) je večkratnikov števila \(\frac{2}{5}\)?

28

Reši sistem enačb: \((a + b)(a + c) = 77, (a + b)(b + c) = 42\)?

29

Koliko števil v množici \(\{1,2,3,\ldots,100\}\) je oblike \(x^3+x^2\)?

30

A,B in C so rešili šest nalog tipa P-N (pravilno-nepravilno)Oseba A je odgovorila : NNPPPP, oseba B: PNNPPP in oseba C:PPNNPP. A in B sta odgovorila na pet vprašanj 5 pravilno. Koliko največ vprašanj je lahko odgovoril pravilno C?

Zanimivo. Diofanska enačba tipa \(x^p+y^r=z^t\) (super Fermatova enačba) za paroma tuje eksponente ima netrivialne rešitve, npr:

\[55268479930183339474944^3 + 50779978334208^5 = 6530347008^7\]