POLINOMI

DEFINICIJA

Polinom je vsaka vsaja funkcija, ki jo lahko zapišemo: $p\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1+a_0$ .

Pri tem je $n\in\mathbb{N},$ koeficienti $a_n$ , $a_{n-1}$ , … , $a_2$ , $a_1$ in $a_0$ so poljubna realna števila, koeficient $a_n$ pa mora biti različen od 0.

Koeficient $a_n$ se imenuje vodilni koeficient.

Koeficient $a_0$ se imenuje prosti člen.

RAČUNANJE S POLINOMI

Če v predpis polinoma vstavimo dano število $a$ , lahko izračunamo vrednost polinoma ( za $p(x)=x^3+5x$ je vrednost v točki $a=3$ enaka $p\:\left(3\right)\:=3^3:+\:5\:\cdot\:3\:=\:42$ ).

Polinome:

seštevamo: $\left(f\:+\:g\right)\left(x\right)\:=\:f\:\left(x\right)\:+\:g\left(x\right)$ , vsota dveh polinomov je polinom

odštevamo: $\:\left(f\: - \:g\right)\left(x\right)\:=\:f\:\left(x\right)\: − \:g\left(x\right)\:\:$ , razlika dveh polinomov je polinom,

množimo: $\left(f\cdot\:g\right)\left(x\right)\:=\:f\:\left(x\right)\cdot\:g\left(x\right)$ , produkt dveh polinomov je polinom,

delimo: količnik dveh polinomov je polinom, velja osnovni izrek o deljenju
$p\left(x\right)\:=\:q\left(x\right)\cdot \:k\left(x\right)\:+\:o\left(x\right), kjer je st(r) < st(q).$
Če je polinom $p$ deljiv s $q,$ je $r(x)=0.$

NIČLE POLINOMA

Število $a$ je ničla polinoma $p$ , če velja $p(a)=0.$ V tem primeru je polinom $p$ deljiv z $x-a$ in velja $p(x)=(x-a)\cdot q(x)$ .

Polinom $p$ ima ničlo stopnje $k,$ če je deljiv z $(x-a)^k$ , torej je $p(x)=(x-a)^k\cdot q(x).$

Iskanje ničel polinoma:

Razcep: Polinom razcepimo po pravilih za razcepljanje izrazov in iz razcepljene oblike razberemo ničle.

Velja osnovni izrek algebre: Polinom stopnje $n$ ima $n$ ničel:

$p(x)=a_n(x-x_1)^{k_1}(x-x_2)^{k_2}\cdots (x_x_r)^{k_r},$

kjer je $k_1+k_2+\ldots k_r=n.$

Hornerjev algoritem: Racionalno ničlo $a$ določimo iz množice kandidatov oblike $\frac{c}{d}$ , kjer je $c$ celoštevilski delitelj prostega člena polinoma $a_0$ , $d$ pa celoštevilski delitelj vodilnega koeficienta $a_n$ . S Hornerjevim algoritmom preverimo, ali je kandidat $\frac{c}{d}$ res ničla, v tem primeru polinom razcepimo v obliko: $p(x)=(x-a)q(x)$ , preostale ničle poiščemo v polinomu $q(x).$

Primer:

Polinom $p(x)=3x^3+5x^2-4x-4$ ima racionalne kandidate $\frac{c}{d}$ enake: $\pm 1, \pm 2,\pm 4,\pm\frac{1}{3},\pm\frac{2}{3},\pm\frac{4}{3}$ , ugotovimo, da ima ničlo v $x=1:$
$\begin{array}{l|cccc}& 3 & 5 & -4 & -4 \\ \hline1 & & 3 & 8 & 4 \\\hline& 3 & 8 & 4 &\vert 0 \\\end{array}$

Poleg določanja racionalnih ničel si s Hornerjevim algoritmom pomagamo tudi pri deljenju z linearnim polinomom $x-a$ in pri določanju funkcijske vrednosti v točki $x=a.$

V $x=2$ ima vrednost $32$ , kar lahko ugotovimo tudi s Hornerjevim algoritmom:

$\begin{array}{l|cccc}& 3 & 5 & -4 & -4 \\ \hline2 & & 6 & 22 & 36 \\\hline & 3 &11 & 18 &\vert 32 \\\end{array}$

Polinom $p$ ima pri deljenju z linearnim polinomom $x+1$ količnik $k(x)=3x^2+2x-6$ in ostanek $r(x)=2:$

$\begin{array}{l|cccc}& 3 & 5 & -4 & -4 \\ \hline-1 & & -3 & -2 & 6 \\\hline& 3 &2 & -6 &\vert 2 \\\end{array}$

Zapišemo lahko osnovni izrek o deljenju polinomov: $3x^3+5x^2-4x-4=(x+1)(3x^2+2x-6)+2$

GRAF POLINOMA

Pri risanju polinomov določimo ničle, začetno vrednost, kakšno dodatno točko, če je potrebno in obnašanje funkcije za $x\to\pm \infty.$

V okolici ničel lihe stopnje polinom spremeni predznak (graf seka abscisno os), v okolici ničle sode stopnje pa ne (graf se dotika abscisne osi). Pri določanju obnašanja polinoma v neskončnosti pa gledamo le predznak vodilnega člena $a_nx^n.$

Primer: $p(x)= x^3 - 3x^2 + 4$ ima ničle v $x=2$ (dvojna ničla)in $x=-1,$ kar lahko določimo z razstavljanjem $p(x)=(x-2)^2(x+1),$ začetno vrednost ima v $p(0)=4,$ velja pa tudi $p(\infty)=\infty$ , $p(-\infty)=-\infty.$

Rendered by QuickLaTeX.com

POLINOMSKA ENAČBA IN NEENAČBA

Enačbe višje stopnje oblike $p(x)=0,$ kjer je $p$ polinom in $st(p)\geq 3$ rešimo na identičen način kot poiščemo ničle polinoma $p.$

Primer: Pri reševanju enačbe

$x^4+2x^3-25x^2-26x+120=0$

določimo racionalne kandidate za ničle, to so vsi celoštevilski delitelji števila $120.$

S Hornerjevim algoritmom potrdimo ničlo v $x=2$ , v količniku $k(x)$ pa najdemo še naprej ničle $x=4$ , $x=-3$ in $x=-5.$

$\begin{array}{l|ccccc} & 1 & 2 & -25 & -26 &120 \\ 2& & 2 & 8 & -34 & -120\\ \hline & 1& 4 & -17 & -60&\vert 0 \\ 4&&4 & 32& 60& & \hline & 1&8&15 &\vert 0&\\ -3&&-3 & -15& & & \hline & 1&5&\vert 0 &&\\ -5&&-5 & & & & \hline & 1&\vert 0&\ &&\\ \end{array}$

Pri neenačbah pa upoštevamo ničle in obnašanje polinoma v okolici ničel: polinom spremeni predznak le v okolici ničel lihe stopnje.

Primer: Neenačbo

$x^4-x^3-6x^2+4x+8>0$

rešimo tako, da najprej določimo ničle polinoma na levi in njihovo stopnjo, nato pa upoštevamo spremembo predznaka. Polinomu določimo ničle $x=2$ druge stopnje, $x=-2$ (1. stopnje), $x=-1$ (1.stopnje), zato se predznak polinoma spremeni v okolici $-2$ in $-1.$ Ugotovimo lahko, da je za $f(3)>0$ , zato je predznak na številski premici takšen:

Rendered by QuickLaTeX.com

Rešitev: $-2<x<-1$

Naloge

RACIONALNE FUNKCIJE

DEFINICIJA

Racionalna funkcija je definirana kot

$f\left(x\right)=\frac{p(x)}{q(x)},$

kjer sta $p$ in $q$ polinoma.

Definicijsko območje: Povsod tam, kjer ni polov; $D_f=\mathbb{R}-\{x;q(x)=0\}$
Poli racionalne funkcije: tam, kjer velja $q(x)=0$
Ničle racionalne funkcije: tam, kjer je $p(x)=0$
Začetna vrednost: točkia $A(0,f(0))$
Asimptota racionalne funkcije: količnik pri deljenju števca $p(x)$ z imenovalcem $q(x).$

Velja izrek: Vsako racionalno funkcijo lahko zapišemo kot vsoto polinoma in racionalne funkcije, v kateri je v števcu nižja stopnja kot v imenovalcu.

$f(x)=k(x)+\frac{r(x)}{q(x)},$

kjer je $st(r)<st(q).$

GRAF RACIONALNE FUNKCIJE

Primer: Funkcija $f(x)=\frac{x-2}{x-1}$ ima pol v $x=1$ , ničlo v $x=2$ in asimptoto $y=1.$ Začetna vrednost je v točki $A(0,2).$

Rendered by QuickLaTeX.com

V okolici polov in ničel lihe stopnje $f$ spremeni predznak, v okolici polov in ničel sode stopnje pa ne. V polu racionalna funkcija ni zvezna.

RACIONALNA ENAČBA IN NEENAČBA

Racionalno enačbo imenujemo enačbo $f(x)=0,$ kjer je $f$ racionalna funkcija, rešitve poiščemo v ničlah števca, hkrati pa zanj ne sme veljati $q(x)=0.$

Primer: Pri reševanju racionalne enačbe

$\frac{x}{x-8}-\frac{2}{x-4}=\frac{-3x+56}{x^2-12x+32}$

pridemo do rešitev $x=8$ in $x=-5,$ vendar prve rešitve ne upoštevamo, saj enačba za $x=8$ sploh ni definirana ( $0$ v imenovalcu). Rešitev je le $x=-5.$

Skratka: potrebno je narediti preizkus!

Pri neenačbah pa upoštevamo ničle in obnašanje racionalne funkcije v okolici ničel in polov: predznak se spremeni le v okolici ničel in polov lihe stopnje.

Primer: Reši neenačbo

$\frac{(x-1)^2(x+2)(x+3)^3}{x(x+1)^2}\geq 0.$

Ker so ničle v vrednostih $x=1$ (2.stopnje), $x=-2$ (1.stopnje) in $x=-3$ (3. stopnje), racionalna funkcija spremeni predznak v $-2$ in $-3.$ Ker so poli v $x=0$ (1. stopnje) in $x=-1$ (2. stopnje), se predznak funkcije spremeni le v okolici $0.$ Ugotovimo lahko, da je za $f(2)>0$ , zato je predznak na številski premici takšen:

Rendered by QuickLaTeX.com

Rešitev neenačbe je torej $-3\leq x\leq -2$ ali $x>0.$ (pri tem primeru z neenakostjo $\geq$ pazimo, da ničle vključimo v množico rešitev, polov pa ne!)

Naloge