POLINOMI
DEFINICIJA
Polinom je vsaka vsaja funkcija, ki jo lahko zapišemo: .
Pri tem je koeficienti , , … , , in so poljubna realna števila, koeficient pa mora biti različen od 0.
Koeficient se imenuje vodilni koeficient.
Koeficient se imenuje prosti člen.
RAČUNANJE S POLINOMI
Če v predpis polinoma vstavimo dano število , lahko izračunamo vrednost polinoma ( za je vrednost v točki enaka ).
Polinome:
- seštevamo: , vsota dveh polinomov je polinom
- odštevamo: , razlika dveh polinomov je polinom,
- množimo: , produkt dveh polinomov je polinom,
- delimo: količnik dveh polinomov je polinom, velja osnovni izrek o deljenju
NIČLE POLINOMA
Število je ničla polinoma , če velja V tem primeru je polinom deljiv z in velja .
Polinom ima ničlo stopnje če je deljiv z , torej je
Iskanje ničel polinoma:
- Razcep: Polinom razcepimo po pravilih za razcepljanje izrazov in iz razcepljene oblike razberemo ničle.
Velja osnovni izrek algebre: Polinom stopnje ima ničel:
kjer je
- Hornerjev algoritem: Racionalno ničlo določimo iz množice kandidatov oblike , kjer je celoštevilski delitelj prostega člena polinoma , pa celoštevilski delitelj vodilnega koeficienta . S Hornerjevim algoritmom preverimo, ali je kandidat res ničla, v tem primeru polinom razcepimo v obliko: , preostale ničle poiščemo v polinomu
Primer:
- Polinom ima racionalne kandidate enake: , ugotovimo, da ima ničlo v
Poleg določanja racionalnih ničel si s Hornerjevim algoritmom pomagamo tudi pri deljenju z linearnim polinomom in pri določanju funkcijske vrednosti v točki
- V ima vrednost , kar lahko ugotovimo tudi s Hornerjevim algoritmom:
- Polinom ima pri deljenju z linearnim polinomom količnik in ostanek
Zapišemo lahko osnovni izrek o deljenju polinomov:
GRAF POLINOMA
Pri risanju polinomov določimo ničle, začetno vrednost, kakšno dodatno točko, če je potrebno in obnašanje funkcije za
V okolici ničel lihe stopnje polinom spremeni predznak (graf seka abscisno os), v okolici ničle sode stopnje pa ne (graf se dotika abscisne osi). Pri določanju obnašanja polinoma v neskončnosti pa gledamo le predznak vodilnega člena
Primer: ima ničle v (dvojna ničla)in kar lahko določimo z razstavljanjem začetno vrednost ima v velja pa tudi ,
POLINOMSKA ENAČBA IN NEENAČBA
Enačbe višje stopnje oblike kjer je polinom in rešimo na identičen način kot poiščemo ničle polinoma
Primer: Pri reševanju enačbe
določimo racionalne kandidate za ničle, to so vsi celoštevilski delitelji števila
S Hornerjevim algoritmom potrdimo ničlo v , v količniku pa najdemo še naprej ničle , in
Pri neenačbah pa upoštevamo ničle in obnašanje polinoma v okolici ničel: polinom spremeni predznak le v okolici ničel lihe stopnje.
Primer: Neenačbo
rešimo tako, da najprej določimo ničle polinoma na levi in njihovo stopnjo, nato pa upoštevamo spremembo predznaka. Polinomu določimo ničle druge stopnje, (1. stopnje), (1.stopnje), zato se predznak polinoma spremeni v okolici in Ugotovimo lahko, da je za , zato je predznak na številski premici takšen:
Rešitev:
RACIONALNE FUNKCIJE
DEFINICIJA
Racionalna funkcija je definirana kot
kjer sta in polinoma.
- Definicijsko območje: Povsod tam, kjer ni polov;
- Poli racionalne funkcije: tam, kjer velja
- Ničle racionalne funkcije: tam, kjer je
- Začetna vrednost: točkia
- Asimptota racionalne funkcije: količnik pri deljenju števca z imenovalcem
Velja izrek: Vsako racionalno funkcijo lahko zapišemo kot vsoto polinoma in racionalne funkcije, v kateri je v števcu nižja stopnja kot v imenovalcu.
kjer je
GRAF RACIONALNE FUNKCIJE
Primer: Funkcija ima pol v , ničlo v in asimptoto Začetna vrednost je v točki
V okolici polov in ničel lihe stopnje spremeni predznak, v okolici polov in ničel sode stopnje pa ne. V polu racionalna funkcija ni zvezna.
RACIONALNA ENAČBA IN NEENAČBA
Racionalno enačbo imenujemo enačbo kjer je racionalna funkcija, rešitve poiščemo v ničlah števca, hkrati pa zanj ne sme veljati
Primer: Pri reševanju racionalne enačbe
pridemo do rešitev in vendar prve rešitve ne upoštevamo, saj enačba za sploh ni definirana ( v imenovalcu). Rešitev je le
Skratka: potrebno je narediti preizkus!
Pri neenačbah pa upoštevamo ničle in obnašanje racionalne funkcije v okolici ničel in polov: predznak se spremeni le v okolici ničel in polov lihe stopnje.
Primer: Reši neenačbo
Ker so ničle v vrednostih (2.stopnje), (1.stopnje) in (3. stopnje), racionalna funkcija spremeni predznak v in Ker so poli v (1. stopnje) in (2. stopnje), se predznak funkcije spremeni le v okolici Ugotovimo lahko, da je za , zato je predznak na številski premici takšen:
Rešitev neenačbe je torej ali (pri tem primeru z neenakostjo pazimo, da ničle vključimo v množico rešitev, polov pa ne!)