TRIGONOMETRIČNE FUNKCIJE

OSNOVNE ZVEZE MED KOTNIMI FUNKCIJAMI

Med kotnimi funkcijami istega kota $x$ velja:

(1) $\begin{eqnarray*} \sin^2 x + \cos^2 x &=& 1 \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} \tan x &=& \frac {\sin x}{\cos x} \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} \cot x &=& \frac {\cos x}{\sin x}\\ \end{eqnarray*}$

(4) $\begin{eqnarray*} \tan x \cdot \cot x &=& 1\\ \end{eqnarray*}$

(5) $\begin{eqnarray*} \tan^2 x + 1 &= &\frac {1}{\cos^2x}\\ \end{eqnarray*}$

(6) $\begin{eqnarray*} \cot^2 x + 1 &=& \frac {1}{\sin^2x} \end{eqnarray*}$

Primer: Poenostavi izraz:

$(1-\sin^2 x) \cdot \cos^-^2 x =$

Najprej izračunamo $(1-\sin^2 x)$ . Ker poznamo osnovno zvezo $\sin^2 x + \cos^2 x &=& 1$ , dobimo rezultat $\cos^2 x$ . $\cos^-^2 x$ , pa postavimo v ulomek, saj negativna potenca pomeni obratno vrednost v tem primeru $\frac{1} { \cos^2 x}$ . Iz tega sledi, da izračunamo enačbo $\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}$ , kar je 1.

TABELA KOTNIH FUNKCIJ in PREHOD NA OSTRI KOT

Pri računanju vrednosti kotnih funkcij upoštevamo formule za prehod na ostri kot.

(7) $\begin{eqnarray*} \sin(\pi-x)&=&\sin x\\ \sin(\pi+x)&=&-\sin x\\ \sin(-x)&=&-\sin x\\ \sin(2\pi+x)&=&\sin x\\ \cos(\pi-x)&=&-\cos x\\ \cos(\pi+x)&=&-\cos x\\ \cos(-x)&=&\cos x\\ \cos(2\pi+x)&=&\cos x\\ \tan(-x)&=&-\tan x\\ \tan(\pi+x)&=& \tan x\\ \cot(-x)&=&-\cot x\\ \cot(\pi+x)&=& \cot x\\ \sin(\frac{\pi}{2}-x)&=&\cos x\\ \cos(\frac{\pi}{2}-x)&=&\sin x\\ \tan(\frac{\pi}{2}-x)&=&\cot x\\ \cot(\frac{\pi}{2}-x)&=&\tan x\\ \end{eqnarray*}$

RADIANI

En radian(rd) je kot, ki mu pripada krožni lok z dolžino enega polmera krožnice.


 

Zapiši kote v radianih:

ADICIJSKI IZREKI

(8) $\begin{eqnarray*} \sin (x+y) &=& \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y \end{eqnarray*}$

(9) $\begin{eqnarray*} sin (x-y)& =& \sin x \cdot \cos y - \cos x \cdot \sin y \end{eqnarray*}$

(10) $\begin{eqnarray*} \cos (x+y) &=& \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y \end{eqnarray*}$

(11) $\begin{eqnarray*} \cos (x-y) &=& \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y \end{eqnarray*}$

(12) $\begin{eqnarray*} $ \tan(x+y)&=& \frac {\tan x + \tan y}{1-\tan x \cdot \tan y} \end{eqnarray*}$

(13) $\begin{eqnarray*} \tan(x-y)&=& \frac {\tan x - \tan y}{1+\tan x \cdot \tan y} \end{eqnarray*}$

Primer: Naj bo $\sin x=\dfrac{7}{25}$ in $x$ topi kot ter $\cos y=\dfrac{4}{5}$ , kjer je $-\dfrac{3\pi}{2}<y<\2\pi.$ Izračunaj vrednosti $\sin (x+y)$ , $\cos(x+y)$ , $\tan(x+y)$ ter $\cot(x+y).$

Najprej izračunamo $\cos^2 x=1-\sin^2 x= 1-(\frac{7}{25})^2=\dfrac{576}{625}.$ Ker je $x$ topi kot, je $\cos x=-\dfrac{24}{25}.$ Izračunamo tudi $\sin^2 y=1-cos^2 y=1-(\dfrac{4}{5})^2=\dfrac{9}{25}.$ Ker je $y$ v četrtem kvadrantu , sledi $\sin y=-\frac{3}{5}$ . Nato uporabimo adicijske izreke:

$\sin(x+y)=\dfrac{7}{25}\cdot \dfrac{4}{5}+\dfrac{24}{25}\left(-\dfrac{3}{5}\right)=-\frac{44}{125},$

$\cos(x+y)=\dfrac{24}{25}\cdot \dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{25}\left(-\dfrac{3}{5}\right)=-\frac{117}{125}.$

Izračunamo še $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\dfrac{7}{24}$ , $\tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}=-\dfrac{3}{4},$ nato pa še po adicijskem izreku

$\tan(x+y)= \dfrac{(-\frac{7}{24})+(-\frac{3}{4})}{1-(-\frac{7}{24})\cdot(-\frac{3}{4})}=-\dfrac{4}{3}.$

Za $\cot(x+y)$ uporabimo formulo:

$\cot(x+y)=\dfrac{1}{\tan(x+y)}=-\dfrac{3}{4}.$

FUNKCIJE DVOJNIH IN POLOVIČNIH KOTOV

(14) $\begin{eqnarray*} \sin 2x &=& 2 \sin x \cdot \cos x \end{eqnarray*}$

(15) $\begin{eqnarray*} \cos 2x &=& \cos^2 x - \sin^2 x \end{eqnarray*}$

(16) $\begin{eqnarray*} \tan 2x &=& \frac {2\tan x}{1-\tan^2 x} \end{eqnarray*}$

(17) $\begin{eqnarray*} \sin\frac{x}{2}&=&\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}} \end{eqnarray*}$

(18) $\begin{eqnarray*} \cos\frac{x}{2}&=&\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}} \end{eqnarray*}$

(19) $\begin{eqnarray*} \tan \frac{x}{2} &=& \frac {1-\cos x}{\sin x} \end{eqnarray*}$

Primer: Izračunaj $\sin2\alpha$ , $\cos2\alpha$ , $\tan2\alpha$ , če je $\sin\alpha =\frac{8}{17}$ . Kot $\alpha$ je oster kot.

Najprej izračunamo $cos\alpha$ iz formule $cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ . V enačbo ustavimo $sin\alpha$ , ki ga skvadriramo in odštejemo od 1. Tega nato korenimo in dobimo $cos\alpha = \frac{15}{17}$ . Sedaj lahko izračunamo prvi primer:
$\sin2\alpha = 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha = 2\cdot \frac{8}{17} \cdot \frac{15}{17} =\frac{240}{289}$

Za naslednji primer rabimo skvadrirati že izračunana primera $sin\alpha$ in $cos\alpha$ :
$\cos2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{225}{289} - \frac{64}{289} =\frac{161}{289}$

Za izračun $\tan^2 \alpha$ , najprej izračunamo $\tan\alpha$ s formulo $\tan\alpha= \frac{\sin\alpha}{cos\alpha}$ . Ko v njo vnesemo že pridobljena $\sin\alpha$ in $\cos\alpha$ , dobimo, da je $\tan\alpha=\frac{8}{15}$ . Sedaj lahko rešimo dano nalogo:
$\tan^2 \alpha = \frac {2\tan\alpha}{1-tan^2 \alpha} = \frac {2\cdot \frac{8}{15}}{1 - (\frac{8}{15})^2} = \frac{\frac{16}{15}} {\frac{161}{15^2}} = \frac{16\cdot 15}{161} = \frac{240}{161}$

FAKTORIZACIJA KOTNIH FUNKCIJ

$\sin x + \sin y = 2\sin\frac {x+y}{2} \cdot \cos\frac {x-y}{2}$

$\sin x - \sin y = 2\sin\frac {x-y}{2} \cdot \cos\frac {x+y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2\cos\frac {x+y}{2} \cdot \cos\frac {x-y}{2}$

$\cos x - \cos y = -2\cos\frac {x+y}{2} \cdot \cos\frac {x-y}{2}$

RAZČLENJEVANJE KOTNIH FUNKCIJ

$\sin x \cdot \sin y = -\frac {1}{2} \cdot (\cos(x+y) - \cos(x-y))$

$\cos x \cdot \cos y = \frac {1}{2} \cdot (\cos(x+y) + \cos(x-y))$

$\sin x \cdot \cos y = \frac {1}{2} \cdot (\sin(x+y) + \sin(x-y))$

GRAFI KOTNIH FUNKCIJ

$f(x)=\sin x.$ Zapiši lastnosti funkcije

Rendered by QuickLaTeX.com

2. Kosinus: $f(x)=\cos x$ Zapiši lastnosti funkcije in nariši graf.

Rendered by QuickLaTeX.com

3. Tangens: $f(x)=\tan x.$ Zapiši lastnosti funkcije in nariši graf.

Rendered by QuickLaTeX.com

4. Kotangens: $f(x)=\cot x.$ Zapiši lastnosti funkcije in nariši graf.

Rendered by QuickLaTeX.com

KROŽNE FUNKCIJE

DEFINICIJA KROŽNIH (CIKLOMETRIČNIH) FUNKCIJ

GRAFI KROŽNIH FUNKCIJ

Description for this block. Use this space for describing your block. Any text will do. Description for this block. You can use this space for describing your block. Description for this block. Use this space for describing your block. Any text will do. Description for this block. You can use this space for describing your block.

TRIGONOMETRIČNE ENAČBE

$f(x)=\sin x.$ Zapiši lastnosti funkcije

Rendered by QuickLaTeX.com

2. Kosinus: $f(x)=\cos x$ Zapiši lastnosti funkcije in nariši graf.

Rendered by QuickLaTeX.com

3. Tangens: $f(x)=\tan x.$ Zapiši lastnosti funkcije in nariši graf.

Rendered by QuickLaTeX.com

4. Kotangens: $f(x)=\cot x.$ Zapiši lastnosti funkcije in nariši graf.

Rendered by QuickLaTeX.com

UPORABA TRIGONOMETRIJE

kotne funkcije v pravokotnem trikotniku
kosinusni izrek
sinusni izrek